数学教育的悠悠情节-罗增儒教授访谈二三事

数学教育的悠悠情结

——罗增儒教授访谈二三事

袁芹芹（陕西省西安市第一中学）尚向阳（陕西省周至县第一中学）

摘要：访谈首先介绍了罗增儒教授走向数学教育的励志故事，分享了罗增儒教授初为人师时的起步工作和成长经验。然后分析了当前教学中的一些困惑现象：怎么看没有什么毛病的公开课？为什么学生上课听懂了考试不会做？最后，就数学核心素养的课堂落实谈了三点看法。

关键词：教育缘分，教学案例，数学素养，课堂落实

0   数学教育的悠悠情结

今年（2020），恰逢罗增儒教授退休十周年。正如先生不久前所说：“十年来‘闲人多忙事’令我退休被‘休退’，一直滞留在杏坛敲敲边鼓，跑了二十多个省区，作了数百场报告，发有百余篇文章。走出去，才知道有跟踪书文几十年的老读者，又结识了数学教育新生代的新青年。”有教授发在朋友圈上的小诗为记：

十年休退眨眼间，忙事偏凑老来闲；

课讲西东南北地，程行冬夏秋春天。

方知铁粉跨世纪，又识新秀接前贤；

文章见笑曾百发，杏坛边鼓尚流连。

这些诗文体现了数学教育老前辈的悠悠情结，我们两位也恰好对应着文中所说的老学生（袁芹芹）和新结识（尚向阳）。

2020年1月，在先生75岁生日当天，我们来到了先生的家里，相谈甚欢，还目睹了笔者之一（袁芹芹）的当年作业、实习周报(1991年笔者毕业实习在陕西师范大学附属中学，指导教师就是罗增儒老师)、硕士论文等……这些珍贵的资料由罗老师珍藏了二三十年，实在令人感动不已。

一席寻常话，纵横几十年，交谈中不知不觉说到了先生的数学教育往事，我们教学中的一些困惑，以及当前的热点话题——数学核心素养的课堂落实。我们感到从先生那里收益良多，特整理为访谈二三事，与同行们分享。

1   数学教育的缘分

社会上曾经流传“从矿山工人到中学教师，再到大学教授、博士导师的罗增儒道路”，还有说“他是上帝派来搞数学教育的”，而罗老师却说自己从事数学教育是“半路出家”“至今仍一知半解”。不过，罗老师坦承：“确实有数学教育的缘分，每当人生的关键时刻总有一种力量引导我走向数学、深入数学教育。”他还说过“从五岁孩童开始当学生‘被数学教学’，到古稀之年‘还进行数学教学’，我人生最浓重而清晰的主线‘非数学教学莫属’。”请看几个罗老师早年的小故事。

1.1   数学教育缘分的故事

故事1：国家还面临经济困难的1962年，全国高校招生规模是十万人。罗老师填报的高考志愿顺序是，第一物理专业（上海交大），第二化学专业（华南工学院——现在的华南理工大学），第三数学专业（中山大学）。交表的前一天下午遇见一位中学学长（因国家经济困难、大学停课留在家里）问及高考志愿，学长指出院校的顺序不对，华南工学院录不上中山大学就更录不上了。于是临时贴纸条，交换了第二、第三志愿，考上中山大学数学力学系数学专业（五年制）。罗老师说，“可能是上天派学长来启示我学数学，日后从事数学教育，否则，我肯定是学化学，成为理工男了。”

故事2：由于下连队“当兵”、下乡搞“四清运动”和进行“文化大革命”，罗老师的大学既没有修完全部课程、也没有在1967年按时毕业，到1968年才分配到陕西耀县水泥厂，具体工作是在矿山开采石灰石，一干就是十年。加上在校时搞运动的时间，计来已有十多年没有接触数学了，当时，罗老师也不知道以后还会不会接触到数学。可是，打倒“四人帮”的历史事件改写了很多人和很多事的历史，由于高考招生大学急需教师，西安交通大学愿为罗老师提供专业对口的教学岗位，只是他们一次又一次的发函与来人，都遭到了水泥厂人事部门的婉拒，1978年罗老师从矿山被转到了子弟学校，开始从事数学教学（当时是九年一贯制，教七年级）。罗老师说，这一切都是缘分：“如果没有学长在最后半天的点化，我可能不会搞数学；如果没有文化大革命，我可能不会搞中学数学；如果不是打倒‘四人帮’，我还会是水泥厂的矿山开采工；如果水泥厂人事部门同意调西安交通大学，我肯定是搞高等数学了。”

故事3：回到数学本行了，罗老师说：“位卑未敢忘优国，当我回到数学岗位的时候，有一个坚定的信念，那就是追回消逝的岁月，补回十年的欠债，我夜以继日地做了五件工作。”这五件工作是：（1）反复阅读课本（从省编教材到统编教材），逐一推敲每一概念的本质含义，内在理解各个章节间的纵横联系。（2）独立演算各册课本的例题、习题，并反思解题过程。（罗老师阅读和演算的是九年一贯制的七、八、九年级课本）（3）系统演算历年高考试题和国内外数学竞赛题。（课本题做完了，做高考题和竞赛题）（4）将数学教学的全过程设计为六张教学表，并严格执行。（这六张教学表给我们留有深刻的印象，它们分别是教学日进表、全章安排表、课堂安排表、全章小结表、试题分析表、习题处理表。当中，“教学日进表”在假期就排好了下一学期的120节课；“全章安排表”有“知识系统图”——相当于现在说的思维概念图；“课堂安排表”背后有15至18页的详细讲稿，上课可以不带课前不能不写，上完课后加以整理就是一篇文章——因而罗老师能经常给全国刊物一周投一稿，进行地毯式覆盖）（5）订阅了自己所知道的中学数学报刊（主要有30多家，最多订到60多份），认真学习后，将文章做成小卡片，广泛吸收全国同行的教学经验、数学认识。（在罗老师那里，订阅的报刊既是学习数学教学的课堂也是发表教研文章的园地）应该说，罗老师当年的这些努力“不是全都劳而无功，在秋天的园子里，还开出了几朵迟暮的花。”罗老师说：“两三年的时间，我很快就适应了各个年级的教学工作，实现了从矿山职工到数学教师的角色转换。”“从教两年后（1980年）开始发表文章，后来还做到一年能有十几篇乃至几十篇文章发表（文章覆盖了所订阅的几十家报刊），体现了教学与教研的双兼顾。诸如解题坐标系的构想、数学观点的教学等认识，都萌芽于这段时间。”罗老师说：“我的文章来源于教案编写、课堂感受、作业记录，来源于刊物的学习、消化和思考，它们得以发表不是由于水平而是出于鼓励，是几十家刊物鼓励作者继续深入数学教研。”罗老师说“这可以理解为数学教育的缘分”。

故事4：我们很好奇，罗老师又要上课、又要学习、又要写文章，“时间从哪里来？”因此专门问了问他。罗老师说，解决“负担重、时间缺”的问题，主要应该抓好两条：第一、把教学与研究结合起来；第二、科学安排时间。罗老师解释说，如果你认识到教学本身就是一个创造的天地，就是一个研究的课题，就是一个写作的园地，那么，每节教案你都可以作为小论文来写作，每本作业你都可以作为原始数据来处理，你就能钻研教材不忘为课程论作出贡献，上课也就变成了你讲授艺术展示的舞台。如此等等，一个个教学任务就变成了教师成熟、成才的一级级阶梯。在罗老师那里“备课也是写作，改作业也是研究，教案亦是文章。”罗老师说，“利用零碎时间积累素材和卡片，利用星期天备好一周的课，利用一个晚上写一千几百字的短文，利用假期写长文，这就是我教中学时的一点经验。”多有资料显示，罗老师在散步和坐车时解难题、改作业、读报刊，在候机厅或飞机上编试卷、拟讲稿、写小诗。罗老师建议“缺时间”的同行可以写上两周“工作记录”小纸条，每半小时记一次干了什么，然后回过头来分析“记录”小纸条就会发现，有的时间是白白浪费的，有的消耗是可以避免的，有些安排是可以合并的……总之，一天写上一千几百字的时间是有的。罗老师强调，“时间是有限的，教师的研究工作搞得越深入，业务水平越高，备课的效率就越高，教学效果就越好，从而腾出来的时间就越多，这是一个良性循环。记得，我教中学最忙的时候，曾带高一、高二（高中两年制）、补习班，另兼电视大学的辅导，一年下来还能登稿十几次或几十次。这说明，困难是真实的，但不能把我们压垮。”也许是因为有点成绩，罗老师说：“我在教了八年中学之后，又调到陕西师范大学（1986年正式到陕师大上班）。虽然，工作的性质有了点变化，但与中学数学已经结下了不解之缘。我在师范大学的工作就是研究中学数学，并教我们的学生毕业之后怎样去教中学数学。”我们想给罗老师补充一句：退休之后还研究中学数学，并培训教师怎样去教好中学数学。

1.2   初为人师的经验体会

罗老师由矿山职工（1968年）转身为数学教师（1978年），由中学教师成长为大学教授（1996年）、博士导师（2001年），曾两次获国家级优秀教学成果奖（1993年二等奖、2009年一等奖），四次获省级优秀教学成果奖（1989年、1993年、1995年、2003年），出版书作10余本（套），从中国知网能查到500多篇文章（被中国人民大学复印资料全文转载60余次），曾为全国数学竞赛（初中、高中、冬令营）命制过21道正式试题，有过连续10年高考命题的经历，是我国首批数学竞赛高级教练（1989年），首批教育部“国培”专家（2011年），1994年起就享受国务院政府特殊津贴，他关于数学教学论、数学解题论、数学竞赛论的著作，影响着一代又一代的数学人。虽然已经事业有成，可他至今仍坚持学习，笔耕不辍。我们觉得罗老师的成长很有榜样意义，专门请他谈谈成长的经验。罗老师强调的是“勤奋得法”，说了他初为人师时的五点体会，可供大家（特别是年轻教师）参考：（1）从教书匠的基本功扎实做起。（如钻研教材和练习，钻研教案和板书，占领高考与竞赛两个学科专业平台等）（2）攀登学科与教学的两个专业制高点。（如钻研高考题和竞赛题，钻研教学艺术等）（3）争取教学与研究的双重跨越。（如把教学与研究结合起来，勤于写作等）（4）高起点学习全国名牌教师。罗老师回忆说，因为我没有时间像大学刚毕业的小青年那样去从容熟悉讲台，所以，我必须一开始就像“刊物上的老师”那样当老师、教数学。这些“刊物上的老师”也就成了我初为人师时模仿的对象和努力的目标。（5）订阅专业报刊，并开放性学习：边阅读、边钻研、边写作。

罗老师说这五点体会很基本，但教育家是从教书匠起步的，从矿山职工到博士导师，这是一根拐棍、一座引桥。它说明，教师可以从基本功抓起，通过占领教学制高点来促进专业发展（数学教师应有数学解题、教学艺术、教育管理三个专业制高点）。罗老师建议老师们从“五点体会”起步，关键是要努力去做，不等待、不抱怨，享受工作、永不言胜（不是永不言败）! 今天网络发达，教育信息技术现代化，教育资源极其丰富，与上世纪七八十年代不可同日而语，我们许多老师的起点比当年的罗老师高、环境比当年的罗老师好。只要我们做教育的有心人，刻苦努力，坚持奋进，静心教书，潜心育人，爱岗敬业，扎实奉献，定能收获满满，成为优秀的人民教师——这是我们的心愿也是罗老师的新年祝福。

2   教学案例的交流

三句不离本行，交谈中自然会提起日常教学中的许多问题（尤其是困惑和热点），其中有两个案例记忆尤为深刻：怎么看没有什么毛病的公开课？为什么学生上课听懂了考试不会做？请看罗老师的见解。

2.1   案例1：没有什么毛病的公开课本身也是一种毛病

我们谈到新课改以来的一种新气象，就是公开课、示范课、“同课异构”遍地开花，它对于教研繁荣和教师专业发展都有积极的促进作用，但是也出现了一种倾向，就是“表演性”越来越强：花上一两周时间的反复打磨，几乎教研组全体参与，多媒体现代技术的华丽包装，借班上课，等等。听这样的课你看不到什么毛病，但总觉得不够真实、不切实际、“中看不中用”。

罗老师谈了三点看法。

（1） 教学有表演性但不是演戏。

罗老师说，首先，应该承认教学艺术的表演性，教师也是像演员一样，通过知识内容、语言动作、姿态情感等去获得教学效果的，而且这种表演也受到时空的限制，呈现出即时性的特征。这种即时性使得教学情境瞬息万变而又多姿多彩，也使得认真的教师每节课下来都不无遗憾，我们曾经断言，教学的艺术是一种遗憾的艺术。其次，教学艺术的表演性将协调运用语言、教具、动作与表情，并多方借鉴音乐、绘画、诗歌、演讲等技巧，表现出教学语言符号的音乐美，教学图象信息的图画美，教师仪表姿势的教养美，课堂教学组织的条理美，处理突发事件的奇异美，等等。当中，仅仅是“语言的艺术”“幽默的艺术”“悬念的艺术”以及教学中的“点拨与启发”等，每一个话题都足以写出一本畅销书。但是，罗老师强调，教学艺术的表演性不同于演戏。当教师创设一个情境、引发认知冲突、提出相应问题时，教师是知道答案的，却又以不知道答案的口吻提问：“对于这个问题，我们怎么办呢？”其目的是调动学生的思维，并表达我们一起来解决的意愿，这里的“调动思维”和“表达意愿”都是真实的（不是虚假的）。相反，若“公开课”只是背诵“台词”，甚至提前安排学生给出正确或错误的发言，然后圆满解决，那是演戏而不是教学。教学艺术的表演性与演戏的主要区别在于真实，在于切合真实的课堂，在于学生获得真实的提高。“借班上课”是半真实半演戏，表演多于上课，在一个班里“被借来的学生”很大程度上是在配合老师，而“未被借到的学生”则常常留有消极的感受，不到万不得已还是要避免“借班上课”并尽量保持原有的进度。至于调动教研组共同参与，以及反复打磨、技术包装等，则应具体分析、区别对待，有些课只能算“半真半假”，“真”是指它确实在上课，也确实有认真的态度和共同提高的积极意义，还有体现“最高水平”的样板价值。“假”是指它并非常态课，也并非授课教师的真实表现，平常教学还很难做到“备一节课花上一两周时间”，能够肯定的主要是认真的精神。

（2）“没有看出来”不等于“没有”。

罗老师说，经过长时间集体打磨的公开课、示范课，教师任性随意的低级错误会被提前避免，这是肯定的。但是，体现全教研组集体“最高水平”的课并不等于十全十美的课（十全十美的课存在吗？教学用得着一句广告词“没有最好，只有更好”），没有看出毛病不等于没有毛病，不等于不可以“百尺竿头更进一步”。这些年我听过几百节课，有教育部的“东芝杯”大学生比赛课，有高中、初中、小学的“同课异构”课，有高级、特级、正高级的名师创新课，还有技巧高手的解题比赛课，确实特色突出，收获满满，但是并非无话可说，细节上的充实自不待言（可参见罗老师在杂志上的评课文章），宏观结构上的改进也有事可做，说两个情况。

情况1：在课堂上，我们常常看到这样一种典型的教学方式（从小学到高中），首先创设问题情境、激发学习兴趣、引出本节课题。然后，把提出的问题暂时搁下，重新对学生进行启发引导，直到概括形成新知识（概念、定理、法则等）、并进行了解题过程的示范之后，才让学生作为“前后照应”解决开课提出的问题。这种教学，教师注重“创设问题情境”值得肯定，当提出的问题较深奥、学生无从下手时，“先退后进”、重新对学生进行启发引导也有必要。然而，并非所有问题学生都无从下手，相当一部分课题（并非全部）教师不妨将解决问题的任务直接交给学生（问题驱动教学），让他们面对新情境、新挑战，探索交流，在问题解决的过程中，概括提炼出概念、定理、法则来。千篇一律地默认“学生只有接受了新知识之后，才能解决相应问题”的做法，是没有给学生独立思考和真实探索的机会，也没有真正引发出学生的认知冲突，学生受到的主要是操作性的常规训练，它的一个可能后果是：学生面对新问题时只会等待或逃避。

情况2：我们看到，注重“创设现实情境”已经成为教学常态，它能体现生活中充满“数学的原型和广泛的应用”。比如，高中教学中，由“猜价格”情境引出“二分法”，由“立旗杆”情境引出线面垂直的概念和判别定理；初中、小学教学中，由“高速路”情境引出直线概念和直线公理（两点决定一条直线）。但是，怎样由“猜价格”提炼出函数及其在解方程中的应用，怎样由“立旗杆”概括出“直线与平面内的任意一条直线都垂直”，却缺少具体的过程；还有，呈现了一个“高速路”的画面就立即得出一条“直线”。这些表现都缺少一个“去情境化”、也就是“数学化”的关键步骤。弗赖登塔尔说，与其说学习数学，不如说学习数学化。但是，“猜价格”里有函数吗？“立旗杆”里有“直线与平面内的任意一条直线都垂直”吗？罗老师说，有！只是教师没有去做提炼工作。一条高速路，当你着眼于距离时能提炼出线段，当你着眼于笔直延伸、从而将高速路呈现为高空看地面的地图时，高速路收缩为一条线，没有宽度、很直很直，提炼为直线；当你着眼于面积时，高速路能提炼出矩形（站在高速路上也更容易感受到矩形）；当你着眼于用料时，高速路能提炼出长方体。我们说，生活世界有自身不可克服的局限，它不可能给我们提供太多的理性承诺，学校教育恰恰应该着眼于社会生活中无法获得、而必须经由学校教育才能获得的经验。情境还不是数学，没有提炼的过程，学生获得的可能不是数学、或者是硬塞给他们的数学，也可能是借学生的“嘴”代替教师的“灌”。罗老师强调，在数学教学生活化取向、活动化取向的大潮中，教师的数学化能力凸现，这是一个创作、创造和创新的过程，数学教师要有“先情境化、再去情境化”的自觉意识，数学教学要有“数学化”的专业能力。（3）没有什么毛病的课本身也是一种毛病。确实有这样的课堂，从创设情境开始，教学有问题驱动、有师生互动，有条理地顺利展开；完整的教学环节紧凑而流畅、转换也自然；并且教师的讲授滴水不漏、学生的发言完全正确、师生活动的最后一句小结“话音刚落”，下课的铃声精准响起，会场上也跟进有自发的掌声，这就是“没有什么毛病的课”。罗老师说，我深入到学生座位的课堂观察表明，这些“没有什么毛病的课”，有的是严密的设计掩盖着更深层次的问题（一串串的问题都是老师提的、学生没有提出任何问题），有的是流畅的过程限制了师生的思维暴露（或者说“以教定学”代替“以学定教，“预设”重于“生成”），有的是优生的发言代替了全班的真实声音（座位巡视能看到部分学生的不正确或不严密）。所以，“没有毛病”其实是没有低级错误（诸如“2+3=6”之类），或看不出毛病（水平不够）。

2.2   案例2：学生上课听懂了考试不会做

我们还向罗老师谈到了一个困惑多年的教学现象，就是学生上课听懂了，可作业有困难、考试不会做，特别是一些中下水平的学生尤其明显。我们问罗老师怎么看、怎么办？罗老师认为这种现象由来已久，原因可能是多方面的（涉及教也涉及学），应该做实证研究、综合治理，但作为教师，主要应从教的方面反思。他作了一个开车的比喻，说学生在课堂上听懂了就相当于使用导航开车（有时还有师傅坐在副驾驶的位置上看着），从起点到终点步步都有正确路线的指导，每到十字路口都有左拐、右拐或直行的提示，所以都能很顺利到达终点。而回家做作业，虽然线路和终点差异不是很大，但已是自己独立开车了，没有导航了，走直路可能还问题不大，到十字路口可就有判断“左拐、右拐或直行”的困难了；到了考试，困难就更大了，不但没有导航，而且线路和终点全都要自己选择，有些同学就“考试不会做”了。罗老师认为，解决问题的办法之一是：平时就要锻炼“无导航开车”，提高数学素养，并具体分析了两种情况。

情况1：有这样的教学方式，教师创设问题情境，板书本节课题，学生很明确这节课要学什么概念、学什么定理。然后，一个个大标题、小标题地展开探究，虽然各个环节都有师生互动、学生活动，但这些“动”都有“本节课题”的明确范围、都有“大小标题”的具体提示，解决问题需要用到哪些概念、需要提取哪些定理、需要进行哪些运算，学生比较容易想到（必要时还有教师启发），所以感觉课都听懂了。在这里，“课题”的明确范围、“标题”的具体提示，以及教师的问题设计和有效启发就是“导航”。到了考试，解题需要用到哪些概念、哪些定理、哪些运算，既没有提示也没有范围，就是“无导航开车”了，困难就来了。可以看一个简单的例子：勾股定理的教学。教师请学生测量两块直角三角板的三边长度，并将各边的长度填入下表：（比如，三边长分别为3、4、5与5、12、13），根据已经得到的数据，请猜想三边的长度之间的关系。

　　　这里说的“关系”应该是“等量关系”（否则由3+4>5和5+12>13猜想a+b>c就是一个现成的答案了），至少会有两个开放性的探究：首先探究三个具体数字之间的等量关系；然后由三个具体数字的等量关系归纳出三个抽象字母的等量关系。如果不是预知答案，让学生独立想到找平方关系是不容易的，并且，如果有学生想到将边长平方，那么，由3的平方也可能会看到3*3=4+5而不只是看到3*3+4*4=5*5（前者运算比后者简单），也可能会由5的平方看到5*5=12+13而较难看到5*5+12*12=13*13，从而猜想a*a=b+c（这对无数个满足c-b=1的直角三角形成立）；还可能有学生由3的平方得到3*3=2*4+1（或3*3=2*5-1），由5的平方得到5*5=2*12+1（或5*5=2*13-1），从而猜想a*a=2*b+1（或a*a=2*c-1）。然而，课堂上风平浪静，没有出现a*a=b+c或a*a=2*b+1等情况，学生确实一找就找到了3*3+4*4=5*5，5*5+12*12=13*13，从而获得a*a+b*b=c*c，教学非常顺利，其他同学一验证，确实3*3+4*4=5*5，5*5+12*12=13*13，听课确实听懂了。其实，学生“找到”的背后有“导航”：可能有的学生在课外辅导班学过，可能有的学生在课前预习了，可能有的学生临时翻书找出了定理；而“听课确实听懂了”的背后是“被导航”，是借学生的“嘴”代替教师的“灌”，被动接受和简单模仿的状况没有实质性的改变。所以，一到考试要考真实素养的时候（也就是没有导航了），关键能力的缺失就暴露了。当然，教案肯定是按“课题—大标题—小标题”的格式编写的，但课堂实施应该也必须灵活，可以有教案不曾预设的生成，也可以先有活动、然后才有作为活动结果而“画龙点睛”的“标题”，让教学也经历“无导航”开车，把“有导航”教学与“无导航”教学结合起来。

情况2：有这样的解题教学：老师说由于某个概念，所以有某个结论，学生表示认可；老师又说因为某个定理，所以还有某个结论，学生又表示认可……最后得出了完全正确的答案，学生也表示听懂了，这就是“有导航”的解题教学。确实，老师每一句话都没有科学性错误，整体结构也推理严密，但是只讲了题目“这样解”、只帮助学生获得了“答案”（如果答案为0，你的收获就是0吗？），缺乏对解题方向的思路分析和解题思想的本质提炼，叫做讲“推理”而不讲“道理”（从这一意义上说“数学老师不讲道理”了）。罗老师还举了个自己的例子，初当教师时曾经理直气壮地给学生讲“全等法”解题：“因为两个三角形全等，所以对应边相等”，说完之后就后悔了，就觉得“数学老师不讲道理”了，其实，两个三角形全等，可以推出对应边相等、也可以推出对应角相等、对应周长、对应面积等对应元素相等，不讲清楚为什么选择“对应边相等”就是“讲推理而不讲道理”。面对全等三角形的诸多性质，就像开车来到了十字路口，教师认识路，一打方向就拐弯了，而学生回家做作业，就不知道十字路口往哪拐了；到了考试时可能还要面临用不用“全等法”的选择，困难就更多了。（关于数学解题请参阅罗老师的著作《数学解题学引论》）

3   数学核心素养的课堂落实

2018年1月，《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称《课标（2017）》）正式颁布，这次课程修订的突出亮点就是把学科核心素养纳入到课程标准。罗老师紧跟时代步伐，立即思考一线教师如何在课堂上落实数学核心素养的问题。罗老师首先说，数学核心素养的教学不是凭空而来的，它是中国数学教学从“知识教学”到“知能教学”、到“知能情教学”、到“数学思想教学”、再到“数学素养教学”几十年历史发展的结果；数学核心素养的教学也不是脱离知识内容的空喊，它是中国数学教育“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”优良传统的现代发扬，数学教学完全可以通过基础知识的掌握、数学活动经验的积累，感悟“体现知识内容本质”的基本数学思想，认识“数学思想”里的DNA——数学学科核心素养，并与“立德树人”沟通。罗老师认为，基于数学核心素养的教学，要求教师把握内容的数学本质，创设合适的教学情境，提出相关的数学问题，引发学生的认知冲突，组织互动探究或主题（单元）站位的教学活动，形成“数学化”的深度学习；让学生在掌握知识技能的同时，积累数学活动经验，感悟数学思想方法，发展具有数学基本特征的思维品质、关键能力和价值观念。罗老师对数学核心素养的课堂落实谈了三点看法，他说这是他学习“课标”、学习课程专家（史宁中、王尚志、马云鹏、崔允漷等）文章的心得体会。

3.1   理解课标，明确方向，以发展数学核心素养为教学目标

罗老师认为，教师是培养数学核心素养的主体，课堂是培养数学核心素养的主渠道，如何将数学核心素养的教学融入课堂、并最终落实到学生身上，在于教师首先要吃透《课标（2017）》，吃透课标的“实施建议”，包括教学与评价建议，学业水平考试与高考命题建议等。同时，教师要将《课标（2017）》的各个建议进行更细致的文字解读、更具体的课堂操作，拿出实证的鲜活成果来。罗老师还结合“教学目标”谈了两点看法。

（1）本次普通高中课程标准修订的一个重大突破，是在整合与提升原先“三维目标”的基础上，凝练了学科核心素养（另一个重大突破是对核心素养进行了水平划分）。这不仅解决了“三维目标”的割裂问题，而且实现了课程目标的科学化与具体化，体现了课程改革的时代性和国际视野，落实了中国教育“立德树人”的根本任务。这是从“知识本位”到“素养本位”的重大转变。（2019年高考有转变的体现、也有转变的震动）《课标（2017）》“教学建议”指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是在数学学习的过程中逐步形成的。教师在制定教学目标时：①要充分关注数学学科核心素养的达成；②要深入理解数学学科核心素养的内涵、价值、表现水平及其相互联系；③要结合特定教学任务，思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点；④要注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联；⑤要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性，研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体，在此基础上确定教学目标。罗老师认为，课标的这段话不仅强调了素养教学的大方向，而且具体指出了实现素养教学的关键要点。我们必须领会课标精神，紧紧抓住发展数学核心素养的教学目标。须知，发展数学核心素养是我们进行数学教学的出发点和归宿。

（2）本世纪新课改以来，教师写课堂教学目标大多是按照课程“三维目标”作二级分类来表述的：第一“知识与技能”①②③…；第二“过程与方法”①②③…；第三“情感、态度与价值观”①②③…，但在实际操作中不少教师存在困惑、并出现“目标虚化”。首先是，只有“知识与技能”可以说得比较清楚（是真正落实），“过程与方法”常常有困难（是努力落实），而“情感、态度与价值观”就困难更大了（常常停留在口头上）；其次是，“有的内容不知道归入三维目标的哪一维”或“并不专属于那一维”；还有就是，课堂目标与课程目标分不清，常常把本节课必须一一落实的、效果表现为学生可见可测的具体目标，写成原则指导性的、需要长期努力才能落实的宏观目标（罗老师在研课中问教师是如何逐一落实“你的课堂教学目标”时，有的教师说那“只是写给人家看的”）。现在就不用把“三维目标”割裂开来书写了，可以直接依据课程标准的要求分析教材内容、凝练数学内容的本质思想，提炼出学生可以达成的、三到五条素养教学的具体目标。在书写每一条教学目标时都可以“贯通三维”、一气呵成、让学生明白“从哪里来，到哪里去、怎么去、到达没有”，都可以说通过哪些情境或活动、进行哪些数学知识的探究、获得哪些数学思想方法的感悟、体验哪些情感态度的熏陶，从而提升哪些数学核心素养。于是，每一条目标都可以体现素养源于数学学科知识又超越数学学科知识，都可以体现知识是培养数学素养的载体、活动是培养数学素养的渠道，数学素养是学生在学习数学课程的过程中所形成的、对数学本质的深刻认识和深度把握（不只是知识懂了、技能会了、刷题出答案了，而是要学生自己悟出了道理、规律和思考方法等），它能够引领学生将习得的数学知识和技能应用到日常生活中去，帮助学生用数学的眼光发现和提出问题，用数学的思维分析和解决问題，用数学的语言表达和交流问题。这是从“数学知识”（载体）到“数学思想”（桥梁）再到“数学素养”（目标）的逐层深入和逐级提升。作个粗糙的比喻，“数学知识”如同一块铁矿石（看得见、摸得着），“数学思想”是隐藏在矿石里的铁（要加以提炼才能得出来），而“数学素养”则是组成铁的元素和结构。还可以作个种地的比喻，掌握“数学知识”就是开垦出土地，揭示出数学知识背后的“数学思想”就是在土地上耕种，感悟数学思想里的(DNA)“数学素养”就是在土地上耕种获得丰收。“知识指向”的教学，就是只关注“开垦”，把“耕种”和“收获”留给学生去“自发领悟”，于是有的学生“领悟”了（甚至成为数学家），有的学生“领悟”不了（甚至留下学习数学的消极体验）；现在倡导“素养指向”的教学，就是要自觉经历“开垦、耕种和收获”的全程。所以，课程目标贯彻核心素养的新形势，是对教师提出了更高的要求，教学不仅不能只停留在“传授双基、培养能力”上（但是并非放弃“沃土”和“载体”），而且也不能满足于“从知识内容及其所使用的方法”中提炼数学思想（需要深化，“数学思想”是由数学知识“载体”通往数学素养目标的“桥梁”），还要找出数学思想方法里的DNA——数学核心素养，并与立德树人沟通。学校教学要发展学生的通识核心素养，数学教学要发展学生的学科核心素养，这个观念必须树立，这个目标必须明确。

3.2 与时俱进，把数学思想方法教学深入到素养层面

新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻，已经与数学学科特征有机结合，已经与数学教育的中国道路相互作用，促成中国数学教育进入“数学思想教学”的阶段，主要有四个关键词：数学现实、数学化、再创造、师生互动，即以问题情境作为课堂教学的平台，以“数学化”作为课堂教学的目标，以学生通过自己努力得到结论（或发现）作为课堂教学内容的重要构成（获得“四基”发展“四能”），以“师生互动”作为课堂学习的基本方式（以教师为主导以学生为主体）。现在的问题是与时俱进，深化到核心素养的站位——生成6个数学核心素养。

怎么深化到核心素养？罗老师强调了三点。

（1）指向数学核心素养的教学既要重视教，更要重视学，促进学生学会学习。指向数学核心素养的课程实施,将带来教学方式的根本转变。它要求教师把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式，不仅限于讲授与练习，也包括引导学生阅读自学、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等。促进学生学会学习，要求教师加强学习方法的指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考、理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，形成优化的认知结构。要努力体现“三个转变”：①由“抽象知识”转向“具体情境”，营造学习情境的真实性。②由“知识中心”转向“素养中心”，培养学生形成高于学科知识的学科核心素养。③由“教师中心”转向“学生中心”，促进学生主动学习和合作学习的意识与能力。教师要以学生学习为主线，关注学生问题生成、实践操作、思维转化、问题解决的全过程，指导并促进他们由浅入深、由表及里进行学习探索，进而形成独立思考、实践和学习的能力，但并不是做“甩手掌柜”，放手让学生自学。核心素养的培养更多地依靠学生自身在实践活动中的摸索、积累和体悟。因为学科知识只是形成学科素养的载体，学科活动才是形成学科素养的渠道。所以，老师要将核心素养目标融合到教学设计中，通过科学合理的数学教学活动，让学生在数学学习中实现自我发展、自我超越、自我升华。在数学学习的感染下，培养学生的逻辑思维，发展学生的理性精神，让学生的核心素养得到自主发展。

（2）基于情境，问题导向，经历“数学化”的提炼过程，促进数学核心素养的发展。《课标（2017）》指出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。①指向数学核心素养的教学要求教师将数学的“学术形态”转化为“教育形态”，将“教材内容”转化为“教学内容”，给数学加上“温度”和“情感”；要根据知识的本质先将其情境化，再让学生经历“数学化”（也就是“去情境化”）的过程，感悟知识的思想实质和核心要素；要将知识内容结构化，帮助学生理解、记忆和迁移，形成优化的认知结构。应该看到，创设问题情境的是引发认知冲突、展开深度探究活动、进行数学化的基本平台（数学建模活动与数学探究活动是综合提升数学学科核心素养的载体），核心素养是在特定情境中表现出来的知识、能力和态度。只有通过合适的情境才有利于学生感悟、理解、形成和发展核心素养，只有通过精心设计的问题才能启发学生思考数学内容的本质。因此，在数学教学活动中，教师应结合教学任务及其蕴含的数学核心素养，设计合适的情境与问题，组织学生与情境、问题的有效互动，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，引导学生用数学的语言描述背景、表达问题，引导学生用数学的思维分析问题、解决问题。在问题解决的过程中，促使学生理解数学内容的本质，促进学生数学核心素养的形成和发展。②数学是在发现、提出、分析、解决问题的过程中产生和发展的，数学核心素养是在学习过程、应用过程、创新过程中逐步提升和达成的。创设合适的情境（包括实际情境、科学情境、数学情境），让学生身临问题环境，尽量感悟提出、解决问题的真实过程，这是提升数学核心素养的有效途径，也是教师创新能力的广阔空间。设计合适的教学情境、提出合适的数学问題是有挑战性的，它为教师的实践创新提供了平台。教师应不断学习、探索、研究、实践，提升自身的数学素养，了解数学知识之间、数学与生活、数学与其他学科的联系，开发出符合学生认知规律、有助于提升学生数学学科核心素养的教学模式和优秀案例。

（3）有效参与，深度探究，引发认知冲突，暴露数学思维的真实过程，聚焦数学核心素养。指向核心素养的学习需要引发认知冲突，暴露数学思维过程，组织学生的有效参与（行为参与、思维参与、情感参与），进行深度的探究。深度探究是培养数学核心素养的关键环节。认知冲突指的是当个体意识到个人认知结构与环境、或是个人认知结构内部不同成分之间的不一致所形成的状态。可以分为两种类型：主体内认知冲突和主体间认知冲突。当新的认知经验与学生已有的认知系统无法包容并产生矛盾的时候，就产生了主体内的认知冲突；当学生与其他同学或者教师之间有了不一致的认知，这些不一致的认知对学生产生了一定压力，促使其调整新旧观点，以建立新的平衡时就出现了主体间的冲突。在课堂教学中，引发学生的认知冲突对学生发展核心素养有着重要的意义，它不仅可以引发学生积极的思考，激发其内在动机和探究欲望、发展其思维能力，还能促进学生深入地理解学习内容的本质。教师可以通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考与深度探究；教师可以通过学生充分展示自己的想法、尝试去理解或质疑别人的想法，产生思维的碰撞来促成有效参与和深度学习。

3.3 主题教学是培养数学核心素养的有效途径

基于核心素养的数学教学首先要理解数学，充分把握数学内容的本质。但数学本质，很难通过一节课或一个知识点就能表述清楚。这就需要改变教学设计的思路，从一个个知识点或一个个课时的教学中跳出来，从更大范围、站在更高位置、用更一般思想进行整体教学设计，即实施主题教学（或单元教学）。这里说的主题（或单元）不是知识或内容单位，而是学习单位。实践中可以把一章内容作为主题，也可以选择跨章节的主题、进行整体教学设计和教学实施；还可以把一章的内容分解为几个小主题。容易明白，以知识点为站位，看到的目标只是了解、理解、记忆；以单元为站位，有助于学生抓住本质，看到学科育人的关键能力、必备品格与价值观念。因此，指向学科核心素养的教学需要提升教师的教学设计站位，立足单元，上接学科核心素养，下连知识点的目标与要求。例如，数列是一章内容，可看作一个主题，包括数列的概念、等差数列、等比数列、数列的应用等，可以进行整体的教学设计，统一实施教学。又如，距离问题就是一个跨章节的主题，立体几何涉及距离，解析几何、向量几何也会涉及距离，将所有距离问题及其应用作为一个主题，就比较容易感悟“最短”的含义，从而揭示距离的本质。还有，垂直是体现“最短”的概念，当把所有解决距离问题的方法放在一起，通过比较就可以分析出求解距离问题的通性通法。容易明白，“高考复习课”是进行“主题教学”的极好机会。主题教学将教学内容置于整体内容中去设计，更多地关注了学习内容的本质，是基于学生核心素养培养的教学设计模式，有利于改变教师过分关注具体知识点的倾向，对于拓展教师的教学视野及提高教学效率有重要的意义。可以认为，单元教学是撬动基于核心素养课堂转型的一个很好的支点。

罗教授的故事是一本励志的书，打开会催人奋 进，合上能发人深思。有限的访谈虽然结束了，但是 数学教育的永恒话题和无限探索还在继续。我们的 心头萦绕着比访谈前更多的关于数学教育的思考，我 们的眼前闪现着更宽广的教师发展大道。