陕西省高中数学袁芹芹工作室

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数学教学中培养与提高学生的解题能力

数学学习离不开解题,美国著名数学家G·波利亚说过:“问题是数学的心脏,掌握数学意味着什么?那就是善于解题。”然而,教师在教学中如何更好地引导学生解答数学问题,不断提高学生的数学解题能力却是一件不容易的事,是一项长期的工作。笔者在培养和提

高学生解题能力方面,进行了一些探索,不当之处请批评指正

一、 在教学过程中进行解题策略的训练

如果我们将数学的解题过程稍做分析、归纳,不难发现,很多看起来不同的题目,都有着相似的解题思路、方式.把解题过程概括、提炼,就形成了数学学习最重要的内容---数学的思想和方法。指导学生抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,最终将数学思想方法升华到策略来指导解题。

在教学实践中,我从培养学生审题能力入手,强化学生审清题意的良好意识,使学生养成善于认清已知、明确所求、抓好关键词、挖掘隐含条件的习惯,从而提高解题能力。

   例  设函数

  (I)若 的极值点,求实数

  II)求实数 的取值范围,使得对任意的 ,恒有 成立,注: 为自然对数的底数。

解决本题时我指导学生按以下两个步骤进行审题活动:

(1)捕捉有用信息

指导学生读题时要先粗后细,充分地获取题目的信息,弄清楚题目中的已知条件和未知条件,将题目所提供的各类信息全面把握、审慎分析,分清主次。即要明确题目中蕴含了哪几条重要信息:两问,第一问比较简单属于导数问题、已知极值点,求参数的值第二问求参数的范围,属于恒成立问题;其中使得对任意的 ,恒有 成立一条信息最重要。

(2)记录并转化相关信息

指导学生对题目信息按一定的顺序记录,并对有关信息进行分类和重新组合,其中重要的信息要作上标记。此外,还训练学生有意识地用图形来反映信息,对某些表述得比较含蓄,不能直接加以利用的问题或信息,要转译为自己熟悉的、便于理解和应用的问题或信息。比如第二问可以转化为求函数的最值问题

①当 时,对于任意的实数a,恒有 成立;

②当 时,由题意,转化为证  恒成立,再转化为分别求两函数

          上的最大值,

因为  上为增函数,故其最大值为g1(3e)=3e-

.          上的最小值.

因为g2(x)=1- ,g2(x)=0,x=e,  上的最小值为g2(e)=3e

           所以

综上,a的取值范围是

二、在教学过程中,引导学生注重解题后的“反思”

所谓解题后的反思是指在解决了数学问题后,通过对题目特征、解题思路、解题途径、题目结论的反思来进一步暴露数学解题的思维过程,从而开发出解题智慧,以达到事半功倍,提高解题能力的目的.

在解题后,我通常引导学生以下几个方面进行反思:

1、反思解题的思维过程

   解题的关键是从已知和未知中寻找解题途径,学生在做完一道题后的反思,不仅是简单回顾或检验,而应根据题目的基本特征与特殊因素,进行多角度、多方位的观察、联想。反思自己的解答是否有错,错误的原因是什么?若解答正确则想一想有无新的解题途径?若有另解,应分析比较,找出最佳解法,最后再总结一下解答此类题目有无规律可循?使学生思维的灵活性在变换和化归的训练中得到培养和发展。

2、反思数学思想方法

在解题时如先思考题目特征,寻求基本思想方法,或在每一次解题后,都对自己的思路作出评价,对解题过程中反映的数学思想、方法进行总结、概括,这样长此以往,不仅能巩固知识,避免解题错误,还可以把解决问题的数学思想方法及对问题的再认识转化为一个学习过程,提高学生的分析问题、解决问题的能力。

  3、反思解题规律

  同一类型的问题,解题方法往往有其规律性,因此当一个问题解决后,要不失时机地引导学生反思解题方法,认真总结解题规律,提高解题能力。比如上题实际上是恒成立问题,遇到此类问题,常见的解题方法有:

1、构造函数,且函数最值存在时,可借助于求函数最值求解范围。

如果在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

方法1、转化为求原函数最值

fx>0恒成立 fxmin>0; fx<0恒成立 fxmax<0

方法2、变量分离法

fx>g(a)(a为参数) 恒成立 fxmin>ga;

fx<g(a)(a为参数) 恒成立 fxmax<ga

2、函数最值不存在时,可加以转化解决

方法3、数形结合法

fx>g(x)恒成立 函数fx)图像恒在函数gx)图像上方;

fx<g(x)恒成立 函数fx)图像恒在函数gx)图像下方

4、反思一题多解

不少习题,可以有多种解法,如能周密地反思其别的探求途径,多角度、多途径的审视,找出最简便的解法,既可以训练学生的发散思维能力,又可以提高对数学的审美能力。而且有的习题,经过改造,如条件与结论互换、增设条件、改变原题结构,往往可以使一题多变。

  北师大版数学选修教材4-5数学归纳法一节例3,用数学归纳法证明:      为正整数).

课本给出用数学归纳法证明的方法,本题作为选修教材中的内容,学生经过两年的学习,其数学基础知识比较丰富,基本技能比较扎实,可以从多角度思考,尤其遇到与正整数有关的命题,除了数学归纳法之外,还会向函数、不等式、数列等多方面思考。在我的启发引导下,学生给出了更多的解题方法,并加以推广。

14种证明方法

证法1:数学归纳法,略

     证法2:多元均值不等式

  <0时,原式显然成立,当 >0时,

1+x=

     证法3运用数列解决问题

不等式两端都含有自然数n,如果集中到一端可使问题简化.

据题设x>-1, x+1>0,当n.>1时,原题可转化为 <1, = ,又 =1故只需证明此数列为一单调递减数列即可。

 - = - =- <0

 <1恒成立,原命题得证

   证法4:导数法

n=1时,不等式显然成立,当n2时,

f(x)=  -nx-1,则f'(x)=n(1+x) -n 显然,当x>0f'(x)>0,当-1<x<0时,f '(x)<0  f(x)x=0处取得极小值,且f(0)=0

故对于所有的x>-1x不为0,均有 f(x)>0

 >1+nx      原命题得证

   (2命题的推广:

指数n如果不是正整数时,会有怎样的结论?

推广1、(1+x 1+    为正整数).

   证明:因为x>-1, x+1>0,所以

1+ = =

     推广2、(1+x >1-nx

证明:(1+x =  =  =[1+(- )] >1+n(- )

                     =1+n[ ]=1+n(-x+ )>1-nx,

推广3、(1+x > >1-

证明略。

数学教育家波利亚曾谈到:在你找到第一个蘑菇时,继续观察,就能发现一堆蘑菇。在问题解决之后,教师可根据情况,进行适当的一题多解、一题多变、多题组合,注意数学思想和方法的总结、提炼和升华,进一步拓展学生的思维平台,提高解题能力。