陕西省高中数学袁芹芹工作室

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从选考内容《极坐标与参数方程》谈数学复习策略

       从选考内容《极坐标与参数方程》谈数学复习策略

               

目前我国高考地域不公平现象比较凸显,分省命题加重了高考不公平。较为理想的高考形式,仍应全国统一命题,但要提高命题的针对性,关注教育差异性,鼓励学生发展专长以促进有潜质学生发展,为他们进入高校后的学习打下良好基础,高考应该逐步适应高中课程改革的导向性。

针对国家逐步收回高考考试自主命题权,数学教学应如何应对在复习备考中还需作哪些细微的改变?本文通过对新课程近五年高考选考内容《极坐标与参数方程》试题分析研究,明确提出所涉及的基本考点和应试策略,为高考复习提出一些建议以供参考。

1  新课程近五年高考极坐标与参数方程试题考点分析

考点1理解参数方程是以参变量为中介表示曲线上的点的坐标的方程,是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式,掌握参数方程和普通方程的互化.

例1[2014·新课标全国卷] 已知曲线C4(x2)9(y2)1,直线ly=2-2t(x=2+t,)(t为参数)

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.

(1)曲线C的参数方程为y=3sin θ(x=2cos θ,)为参数)

直线l的普通方程为2xy60.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ3sin θ)l的距离

d5(5)|4cos θ3sin θ6|

|PA|sin 30°(d) 5(5)|5sinα)6|

其中α为锐角,且tanα3(4).

sinα)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为5(5).

sinα)1时,|PA|取得最小值,最小值为5(5).

说明:本题主要考查参数方程与普通方程的相互转化,点到直线的距离公式,三角恒等变形等,属于中等难度。

考点2:理解极坐标方程是以极径、极角为变量的方程,掌握极点在原点,极轴在 轴正半轴上时,极坐标方程和直角坐标方程可以互化.

 例2( 2012年新课标卷)已知曲线C1的参数方程式  为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C的极坐标方程式 =2.正方形ABCD的顶点都在C上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2

   (Ⅰ)求点A,B,CD的直角坐标;

   (Ⅱ)设PC1上任意一点,求 + + + 的取值范围。

解析:(Ⅰ)A,B,CD的极坐标分别2 ),(2 ),(2, ),(2, )

点A,B,CD的直角坐标分别(1, ),(- ,1),(-1,- ),( ,-1)

(Ⅱ)Pxy),则  为参数),

 + + + =4x2+4y2+40=56+20sin2  [56,76]

考点3掌握极坐标方程中 的几何意义,会用  的几何意义解决有关距离问题.

例3 2011年新课标卷)在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为  为参数),M是C1上的动点, 点满足 ,点 的轨迹为曲线C2

(Ⅰ)求C2的方程;

(Ⅱ)在以O为极点,X轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 与C1的异于极点的交点为 ,与C2的异于极点的交点为 ,求

解析:(Ⅰ)设P(x,y),M(x0,y0),则由条件 ,得(x,y)=2(x0,y0),即M(  ).由于 点在C1上,所以 ,即 ,从而C2的参数方程为  为参数).

)由曲线C1的参数方程  为参数)得 ,两式平方相加得C1普通方程为 ,即 ,从而 ,又 ,所以曲线 的极坐标方程为 ,同理,曲线C2的极坐标方程为 =8sin

射线  的交点 的极径为

射线  的交点 的极径为

根据极径 的几何意义,得 = =2

考点4会根据曲线的极坐标方程,求出曲线的参数方程.

4 2014新课标卷在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ2cos θθ2(π).

(1)C的参数方程;

(2)设点DC上,CD处的切线与直线lyx2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)

可得C的参数方程为

y=sin t,(x=1+cos t,)(t为参数,0tπ)

(2)D(1cos tsin t).由(1)C是以G(10)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GDl的斜率相同,tan tt3(π).

D的直角坐标为3(π),即3().

说明:本题考查极坐标与直角坐标方程的互化,直角坐标方程与参数方程的互化,圆的标准方程,参数方程中参数t的几何意义等,属于中等难度。

考点5掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法.

   例5(2013年新课标卷)已知动点 都在曲线  为参数 上,对应参数分别为  ,  的中点.

(Ⅰ)求 的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将 到坐标原点的距离 表示为 的函数,并判断 的轨迹是否过坐标原点.

解析:()依题意有P2cos 2sin ),Q(2cos2α2sin2α),因此M(cosα+cos2αsinα+sin2α

M的轨迹的参数方程为 α为参数,0<α<2π)

(Ⅱ) 到坐标原点的距离 = =    (0<α<2π),它是关于α的函数,当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.

说明:本题考查中点坐标公示及两点间的距离公式,属于中等难度。

考点6掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程,从而判断曲线类型的方法.

   例6 (2010年新课标卷)已知直线C1 t为参数),C2  为参数),

    (Ⅰ)当 = 时,求C1C2的交点坐标;

    (Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当 变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

解析:(Ⅰ)因为直线C1  为参数)表示过定点(1,0),倾斜角为 的直线,所以当 = 时,C1的普通方程为y= x-1,圆C2  为参数)是圆心在圆点半径为 的圆,C2的普通方程为

联立方程组 ,解得C1C2的交点为10 -

     (Ⅱ)由(Ⅰ)C1的普通方程为

 又直线OA垂直C1,所以直线OA的方程为

联立方程组 ,解得A点坐标为

POA的中点,故当 变化时,P点轨迹的参数方程为:  为参数),

  ,即

两式平方相加得,P点轨迹的普通方程为

P点轨迹是圆心为 0半径 为的圆.

2  复习策略

根据新课改近五年的全国卷试题分析,极坐标与参数方程作为选考内容中的解答题,命题形式符合新课改要求,命题的难易程度基本维持在中等水平,既考查了学生综合应用知识的能力又未增加学生的过重课业负担,对高考改革方案具有一定的导向作用,达到高考改革适应新课程改革。

2.1   理解和掌握以上6个基本考点的内容,是解决好极坐标与参数方程问题的关键

2.2   由于极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化,所以必须掌握好与以上内容相关的知识点.

如辅助角公式: ,其中  ,当 ,即  时, 有最大值 ;当 ,即  时, 有最小值

2.3  新课标高考是在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果学生掌握了极坐标与参数方程,则选择“极坐标与参数方程”,比较容易得满分,同时,由于极坐标与参数方程近五年考题的难易程度都差不多,因而预计2015年的考题的难易程度也不会有太大的变动。

总之,极坐标与参数方程问题相对来说比较容易掌握,注意在复习过程中把握方法:

1.在参数方程与普通方程互化的过程中,要保持化简过程的同解变形,避免改变变量x,y的取值范围而造成错误
   2.消除参数的常用方法有:①代入消参法;②三角消参法;③根据参数方程的特征,采用特殊的消参手段
   3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用,要注意合理选参、巧妙消参.