陕西省高中数学袁芹芹工作室

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浅谈数学概念课教学---以《函数的单调性》为例

浅谈数学概念课教学

                          -----以《函数的单调性》为例

陕西省西安市第一中学   袁芹芹(710082)  

数学概念是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映,是学习数学理论和构建数学框架的奠基石. 在教学中,引导学生从分析日常生活和生产实际中的实例入手,通过观察有关的实物、图示、模型,或引导学生根据已有的数学经验和知识,在形成充分感性认识的基础上引入概念。函数的单调性学生进入高中阶段以后学习的第一个用数学语言描述的重要性质,是研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础;它在研究函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中起到举足轻重的作用。本节将以《函数的单调性》教学为例,兼谈数学概念课教学

1  创设情境,引入课题

师:问题1 作出下列函数的图象,并指出图象的变化趋势:

(1)y=x+1  (2)y=-2x+2   (3)y=x2     (4)y=

请四位学生分别作图并回答。

师:问题2你能明确的说出"图象呈逐渐上升趋势"的意思吗?此时X与函数值Y如何相互影响的?

生5:当x值增大时,函数值y也增大图象呈上升趋势。

当x值增大时,函数值y反而减小图象呈下降趋势。

师:很多函数都具有这种性质,因此我们有必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。这就是我们今天这一节课的主题。函数的这种性质,我们就称为函数的单调性。

新课标明确指出:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,不仅把函数看成是变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想将贯穿高中数学课程的始终

《函数的单调性》的课标要求,从实际问题出发,让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的问题。要注重提高学生的数学思维能力,即“在学生学习数学运用数学解决问题时,应经历直观感知,观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

所以在本节课的教学设计中教师在分析学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础上,让学生通过观察函数图像的变化规律,然后归纳猜测,引导学生应用数学知识解决实际问题,经历探索、解决问题的过程,体会数学的应用价值,帮助学生认识到:数学与实际生活有关;数学是有用的.

2  抽象概括,形成概念

师:思考并讨论:

1)对于某个函数,若在区间(0+)上,当x1时, y1;当 x2时,y3 ,能否说在该区间上 y x 的增大而增大呢?

(2)若x1234,时,相应地y1346,能否说在区间(0+)上,y x 的增大而增大呢?

3)若有n个正数x1< x2<x3<······< xn,它们的函数值满足:  y1< y2<y3<······< yn.能否就说在区间(0+) y随着x的增大,而增大呢?  

   生6:不能,并举例说明

问题3如何用数学语言表述一个函数是增函数呢?你能给出一个确切的定义吗?请用你自己的话表达出来,并说给你的小组成员听,并与他交流后,形成集体意见,再展示给大家。

第1步(将两个“增大”符号化):当x1 < x2时, y1 < y2

第2步(再将“随”符号化):当x1 < x2时,f(x1) < f(x2)

第3步(再将隐含语言“任意”符号化.)

能否通过个别数值来说明单调性?例如函数y=x2(x∈R),取x=-1,2,3,4,…,相应地y=1,4,9,16,…,能不能说函数值y 随x的增大而增大?

对区间I上有限个或无限个自变量满足x1<x2,且f(x1)<f(x2),都不能反映“函数值y随x的增大而增大”的本质.必须强调x1,x2的任意性,才能准确表述单调递增的特征.对任意x1 < x2,都有f(x1) < f(x2)

第4步(再将隐含语言“区间”符号化)

x1,x2在“任意”的同时,还有“不任意”,因为单调性描绘的是函数的局部性质,它与区间密不可分,强调定义中x1,x2∈I.

对于区间I内的任意两个值x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2

请一个小组代表发言,得出函数单调性的定义

 本节课对函数单调性概念的建构经历了两个关键过程:

一是建构函数单调性的意义,用自然语言描述函数图像特征.学生通过若干函数图像的观察并不难认识,因而这一过程的建构学习相对比较容易进行。

教师通过让学生观察四个函数的图像,初步提出函数单调性的意义:函数图象的升降反映了函数的一个基本性质——单调性.

二是把这个意义用数学符号表示出来。一过程的进行则有相当的难度。

   用数学符号描述“自变量X增大时函数值Y也增大(减小)”这一变化规律的关键之处在于用数学的符号来描述动态的数学对象。初中数学中,绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象因此,从用静态的数学符号表示静态的数学对象,到用静态的符号语言刻画动态的数学对象,在思维能力层次存在大差异,对刚刚由初中进入高中学习的学生而言,无疑是一个很大的挑战。所以在教学中要找准学生学习思维的“最近发展区”进行有意义的建构教学教师通过层层设问突破了这一难点。

    3   深入探索,加深理解

 在理解函数单调性的定义时,注意把握以下三层含义:

(1)函数单调性的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,区间A I:如果对于区间A内的任意两个值x1x2,当x1x2 时,都有fx1)<fx2(或fx1)>fx2,那么就说函数f(x)在区间A上是增加(减少)的。此时,A是函数f(x)的单调递增(递减)区间。

注:关键词:“区间A I”、“任意”、“都”。

区间A I表明判断函数单调性首先判断函数的定义域,单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性. 在讨论函数的单调性时,特别要注意,若f(x)在区间I1I2上分别是增函数,但f(x)不一定在区间I1I2上是增函数,例如:函数f(x)= 在(-∞,0)上是函数,在(0,+∞)上也是函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不是函数,f(1)>f(-3)便是一例.

“任意”表明单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定义中的x1,x2具有任意性,不能用特殊性替代,但是可以用来否定函数是增函数或者否定函数是减函数,

“都”表示单调区间中的每一个值无一例外。由于定义都是充要性命题,因此由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2) x1<x2(x1>x2),这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

(2)单调性:如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增加或减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单调性,为数列的单调性做好铺垫

(3)如果函数y=f(x)整个定义域是增加或减少的,那么就分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数。

总之,在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线,它始终贯穿于教师的整个课堂教学过程和学生的学习过程概念的研究经历了从直观到抽象,从图形语言到数学语言的过程,体现了数形结合和几何直观的思想,这也是概念课教学的通用设计

           本文发表在《高中数学教与学》(20153月)上