二次函数在闭区间上的最值

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。

类型一  定轴定区间

例1．已知函数，求的最小值.

解：  

由图像可知，当时，

变式1．已知函数，，求的最小值。

分析：由图像可知，函数在为增函数，

变式2．已知函数，，求的最大值.

分析：由图像可知函数在上递减，在上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。

例2．已知二次函数在区间上的最大值为5，求实数a的值。

解：将二次函数配方得，函数图像对称轴方程为，顶点坐标为，图像开口方向由a决定。很明显，其顶点横坐标在区间内。

①若，函数图像开口向下，如下图1所示。当时，函数取得最大值5

即，解得

故

  图1                    图2

②若，函数图像开口向上，如上图2所示，当时，函数取得最大值5

即，解得，故

综上可知：函数在区间上取得最大值5时，

点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a变化的，要注意讨论。

 小结：二次函数在区间最值问题。

①若，则，

②若，当时，，

当时，，

当时，仿此讨论

类型二  定轴动区间

例3．已知函数，求函数的最小值

分析：由于函数图像的对称轴为，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类进行讨论，即①对称轴在区间内，②对称轴在区间右侧。

解：函数

①当时，函数在上单调递减，则当时，

②当时，函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，。

综上可知：    

例4．已知函数在区间上的值域是，求的值.

分析：由于函数图像的对称轴为，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类进行讨论，即①对称轴在区间右侧②对称轴在区间内③对称轴在区间左侧

解：

①若，则   经验证无解。

②若则在区间单调递增，在上单调递减，因此在或处取最小值。

故得

由于故在处取最小值

即解得.

③若则

解得

综上可知或.

点拨：当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论。

类型三  动轴定区间

例5．求在区间上的最大值和最小值。

分析：因为自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图像，作二次函数图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图像对称轴位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论。。

解：，对称轴为

①当时，由图①可知，，

②当时，由图②可知，

③当时，由图③可知，

④当时，由图④可知，

点拨：当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图像需分两种或三种情况讨论。

例6．已知二次函数在上有最大值2，求的值．

解：．

①当时，得．

②当时，，解得，故该方程在上无解．

③当时，，得．

综上可知：或．

点拨：求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”，“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论。

类型四  动轴动区间

例7．设是正实数，若的最大值是求的表达式.

分析：该题是二元函数求最大值，应先由解出代入，消元，转化为关于的二次函数，再求最大值。

解：设

由得

.又，

①当即或时

②当即时

③当即时

综上可知：    

点拨：当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论。

通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得，要是同学们理解了这一点，解决问题还会有意想不到的效果。

例8 ．已知函数在区间上最大值为1，求实数的值.

分析：若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当时，分三种情况讨论最大值，

②当时，分两种情况讨论最大值。

一共有五种情形，过程繁琐。若从整体角度分析，注意到函数的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可。

解：函数的最大值只能在，或，或处取得．

①令，解得，此时．故的最大值不可能在处取得．（，抛物线开口向下）

②令，解得，此时．故，得，符合题意．

③令，解得．要使在处取得最大值，必须且只须且，经检验，只有合题意．

  综上可知：或

点拨：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

其实二次函数在闭区间上最值问题的本质就是讨论函数在区间内的单调性，在解决有关二次函数的最值问题时，我们要充分利用二次函数图像来分析问题，结合开口方向，对称轴和所给区间的位置关系，合理的进行分类讨论，有时采用逆向思维，还会有事半功倍的效果。

巩固训练

1．已知函数上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（  ）

2．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝________.

3．已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx的最大值为3，那么实数k的取值范围为________．

4．若函数在区间上的最大值为，最小值为，求区间。

5．已知，求函数的最值。

6．已知，且，求函数的最值

7. 已知，当时，求的最小值与最大值

8．已知，且当时，的最小值为4，求参数a的值。

参考答案

1. C

2. 2

3. {1，－3}

4．分析对称轴：（1），  （2） 无解（3）

5．函数的最小值为，最大值为

6．函数的最小值是，最大值是。

7．

8．a的取值为，或，或