从选考内容《极坐标与参数方程》谈数学复习策略

       从选考内容《极坐标与参数方程》谈数学复习策略

目前我国高考地域不公平现象比较凸显，分省命题加重了高考不公平。较为理想的高考形式，仍应是全国统一命题，但要提高命题的针对性，关注教育的差异性，鼓励学生发展专长，以促进有潜质学生的发展，为他们进入高校后的学习打下良好基础，高考应该逐步适应高中课程改革的导向性。

针对国家逐步收回高考考试自主命题权，数学教学应如何应对？在复习备考中还需作哪些细微的改变？本文通过对新课程近五年高考选考内容《极坐标与参数方程》试题分析研究，明确提出所涉及的基本考点和应试策略，为高考复习提出一些建议以供参考。

1  新课程近五年高考极坐标与参数方程试题考点分析

考点1：理解参数方程是以参变量为中介表示曲线上的点的坐标的方程，是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通方程的互化．

例1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知曲线C：4(x2)＋9(y2)＝1，直线l：y＝2－2t(x＝2＋t，)(t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

解析：(1)曲线C的参数方程为y＝3sin θ(x＝2cos θ，)(θ为参数)，

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离

d＝5(5)|4cos θ＋3sin θ－6|，

则|PA|＝sin 30°(d) ＝5(5)|5sin(θ＋α)－6|，

其中α为锐角，且tanα＝3(4).

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为5(5).

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为5(5).

说明：本题主要考查参数方程与普通方程的相互转化，点到直线的距离公式，三角恒等变形等，属于中等难度。

考点２：理解极坐标方程是以极径、极角为变量的方程，掌握极点在原点，极轴在轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化．

 例2（ 2012年新课标卷）已知曲线C1的参数方程式（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线Ｃ２的极坐标方程式＝２.正方形ＡＢＣＤ的顶点都在Ｃ２上，且Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为（2，）。

   （Ⅰ）求点Ａ，Ｂ，C，D的直角坐标；

   （Ⅱ）设P为C1上任意一点，求+++的取值范围。

解析：（Ⅰ）点Ａ，Ｂ，C，D的极坐标分别为（2，），（2，),(2,),(2,)

点Ａ，Ｂ，C，D的直角坐标分别为(1,),(-,1),(-1,-),(,-1)

（Ⅱ）设P（x，y），则（为参数），

+++=4x2+4y2+40=56+20sin2[56,76]

考点3：掌握极坐标方程中的几何意义，会用的几何意义解决有关距离问题．

例3 （2011年新课标卷）在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（为参数），M是C1上的动点，点满足，点的轨迹为曲线C2．

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为，与C2的异于极点的交点为，求．

解析：（Ⅰ）设P（x，y），M（x0，y0），则由条件，得（x，y）=2（x0，y0），即M（，）．由于点在C1上，所以 ，即，从而C2的参数方程为（为参数）．

（Ⅱ）由曲线C1的参数方程（为参数）得，两式平方相加得C1普通方程为，即，从而，又，所以曲线的极坐标方程为，同理，曲线C2的极坐标方程为=8sin．

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为．

根据极径的几何意义，得==2．

考点4：会根据曲线的极坐标方程，求出曲线的参数方程．

例4 （2014新课标卷）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈2(π).

(1)求C的参数方程；

(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．

解析：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．

可得C的参数方程为

y＝sin t，(x＝1＋cos t，)(t为参数，0≤t≤π)．

(2)设D(1＋cos t，sin t)．由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝3(π).

故D的直角坐标为3(π)，即3().

说明：本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，圆的标准方程，参数方程中参数t的几何意义等，属于中等难度。

考点5：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法．

   例5（2013年新课标卷）已知动点都在曲线为参数上,对应参数分别为与,为的中点.

(Ⅰ)求的轨迹的参数方程;

(Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.

解析：（Ⅰ）依题意有P（2cos，2sin），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）

M的轨迹的参数方程为（α为参数，0<α<2π)

(Ⅱ)到坐标原点的距离==    (0<α<2π)，它是关于α的函数，当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点.

说明：本题考查中点坐标公示及两点间的距离公式，属于中等难度。

考点6：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法．

   例6 （2010年新课标卷）已知直线C1（t为参数），C2（为参数），

    （Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；

    （Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。

解析：（Ⅰ）因为直线C1：（为参数）表示过定点(1,0)，倾斜角为的直线，所以当=时，C1的普通方程为y=（x-1），圆C2：（为参数）是圆心在圆点半径为的圆，C2的普通方程为．

联立方程组 ，解得C1与C2的交点为（1，0），（，-）．

     （Ⅱ）由（Ⅰ）C1的普通方程为，

即 又直线OA垂直于C1，所以直线OA的方程为．

联立方程组，解得A点坐标为，

P为OA的中点，故当变化时，P点轨迹的参数方程为：（为参数），

由得，即，

两式平方相加得，P点轨迹的普通方程为．

故P点轨迹是圆心为（，0）半径为的圆．

2  复习策略

根据新课改近五年的全国卷试题分析，极坐标与参数方程作为选考内容中的解答题，命题形式符合新课改要求，命题的难易程度基本维持在中等水平，既考查了学生综合应用知识的能力又未增加学生的过重课业负担，对高考改革方案具有一定的导向作用，达到高考改革适应新课程改革。

2.1   理解和掌握以上6个基本考点的内容，是解决好极坐标与参数方程问题的关键．

2.2   由于极坐标与参数方程是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，所以必须掌握好与以上内容相关的知识点．

如辅助角公式：，其中，，当，即，时，有最大值；当，即，时，有最小值．

2.3  新课标高考卷是在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果学生掌握了极坐标与参数方程，则选择“极坐标与参数方程”，比较容易得满分，同时，由于极坐标与参数方程近五年考题的难易程度都差不多，因而预计2015年的考题的难易程度也不会有太大的变动。

总之，极坐标与参数方程问题相对来说比较容易掌握，注意在复习过程中把握方法：

1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误；
   2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段；
   3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.